중간고사 총 출제(100점)
집합 출제 범위
배점 비중(9문항)
핵심 출제 경향
멕스퍼 수학과에서 작성한 울산여고 1학년 2학기 중간고사(공통수학2) 기출분석 보고서
울산여고 수학 기출분석
아래에 분석 전문이 펼쳐져 있습니다.
"울산여고 수학"을 검색해 이 글을 찾으셨다면, 지금 2학년이 된 자녀의 다음 시험이 걱정되는 시기일 겁니다. 결론부터 말씀드리면 울산여고 수학 시험은 학년이 바뀌어도 반복되는 출제 패턴이 있고, 2025학년도 1학년 2학기 중간고사(공통수학2) 23문항을 문항 단위로 전수 분석한 결과가 아래 표에 정리돼 있습니다. 멕스퍼 수학 과학 단과학원 수학과가 이 분석을 토대로 다음 시험을 어떻게 준비해야 하는지 정리했습니다.
| 항목 | 내용 |
|---|---|
| 대상 시험 | 2025학년도 1학년 2학기 중간고사 (2025.9.26 시행) · 1~10반 공통 |
| 과목 / 범위 | 공통수학2 · 「도형의 방정식」 전 단원(평면좌표, 직선의 방정식, 원의 방정식, 도형의 이동) + 「집합과 명제」 중 집합 단원 |
| 문항 구성 | 선택형 15문항(56점) / 단답형 3문항(16점) / 서술형 5문항(28점) · 총 23문항 100점 |
| 분석 발급기관 | 멕스퍼 수학 과학 단과학원 - 수학과 (☎ 052-266-7429) |
01. 이번 울산여고 1학년 2학기 중간고사, 총평부터 확인하기
보고서 1페이지 — 시험 개요 및 총평
"기본 개념을 정확히 아는가"와 "두 개념을 결합해 끝까지 계산할 수 있는가"를 동시에 묻는 시험. 쉬운 문항(하)이 20점, 변별 문항(상)이 46점을 차지해, 상위권 등급을 노린다면 상 난이도 문항에서의 득점이 관건이 되는 전형적인 상위권 변별형 내신 시험입니다.
- 시험지 분량 — 7면(서술형 답안 공간 포함), 선택형은 대체로 쉬운 문항 → 어려운 문항 순으로 배치되며 배점이 난이도와 거의 정비례합니다.
- 배점 설계 — 선택형 배점이 2.8점부터 5.0점까지 0.2점 단위로 촘촘하게 차등화됐고, 단답형은 5.2~5.4점, 서술형은 5~6점입니다.
- 배점 5점 이상 고배점 문항 — 단답형·서술형 전 8문항이 44점을 차지하므로, 이 문항들에서 부분점수를 포함해 얼마나 확보하느냐가 등급을 가릅니다.
- 난이도 구분 기준 — 실제 정답률·점수 분포 자료가 없는 상태에서 문항의 사고 단계와 계산량을 기준으로 한 본원 강사진의 추정이며, 학교가 공개한 통계는 아닙니다.
02. 단원별 배점, 숫자로 보는 출제 설계
보고서 2페이지 — 단원별 출제 비중 및 난이도 분포
| 단원 | 문항 수 | 배점 | 출제된 핵심 개념 |
|---|---|---|---|
| 집합 | 8 | 33.8 | 집합의 연산과 기호, 서로소 조건, 부분집합의 개수(조건부), 포함·배제 원리(합집합의 원소 개수), 약수의 집합, 벤다이어그램 최대·최소 |
| 원의 방정식 | 5 | 25.0 | 원과 직선의 위치관계(판별), 접선의 길이·접점, 원 위의 점과 직선 사이 거리의 최대, 평행선 묶음과 원의 교점 개수 |
| 도형의 이동 | 5 | 23.2 | 평행이동·대칭이동의 원리(중점·수직 조건), 대칭이동의 반복(주기), 도형의 방정식 변환 f(x,y)=0 해석, 대칭을 이용한 최단거리 |
| 직선의 방정식 | 2 | 9.2 | 평행한 두 직선 사이의 거리, 각의 이등분선의 방정식(점과 직선 사이의 거리 활용) |
| 평면좌표 | 3 | 8.8 | 두 점 사이의 거리, 내분점, 무게중심(내분점의 무게중심 = 원래 삼각형의 무게중심) |
| 합계 | 23 | 100.0 |
도형의 방정식이 약 66점, 집합이 약 34점으로 출제되었습니다. 특히 원의 방정식과 도형의 이동에서 고배점 문항(단답형·서술형 후반부)이 집중되어 있어, 이 두 단원의 완성도가 등급을 좌우했다고 볼 수 있습니다. 이번 시험에서는 「명제」 단원 문항이 확인되지 않았습니다.
03. 난이도 분포와 문항별 배치
보고서 3페이지 — 난이도 분포 및 해당 문항
| 난이도 | 문항 수 | 배점 합 | 해당 문항(분석자 기준) |
|---|---|---|---|
| 하 | 6 | 20.0 | 선택형 1·2·3·5·6번, 서술형 1번 — 교과서 예제 수준, 공식 대입으로 해결 |
| 중 | 8 | 34.0 | 선택형 4·7·8·10·11·12번, 서술형 2·3번 — 개념을 정확히 알고 조건을 빠짐없이 검토해야 해결 |
| 상 | 9 | 46.0 | 선택형 9·13·14·15번, 단답형 1·2·3번, 서술형 4·5번 — 두 개 이상의 개념 결합, 조건 해석력·계산 지구력 요구 |
강사 관점에서 '하' 문항은 10분 안에 처리하도록 훈련할 것을 권합니다. 실제 등급은 '중' 문항에서의 실수 여부와 '상' 문항 중 몇 개를 맞히느냐에 따라 갈렸을 것으로 봅니다. 특히 배점 5점 이상인 문항 8개(단답형·서술형 전부)가 44점을 차지하므로, 이 문항들에서 부분점수를 포함해 얼마나 확보하느냐가 핵심입니다.
04. 문항별로 뜯어본 23문항 분석
※ 학교 시험 문항은 저작권 보호 대상이므로 문제·보기·정답은 수록하지 않았으며, 각 문항이 어떤 개념을 어떤 방식으로 물었는지만 정리했습니다. 정답은 분석자가 직접 풀이한 결과입니다.
4-1. 선택형(15문항, 56점)
보고서 3페이지 — 선택형 문항별 출제 내용 분석(1~8번)
| 번호 | 배점 | 난이도 | 단원 / 정답 | 출제 내용 및 풀이 포인트 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2.8 | 하 | 평면좌표 / 정답 ⑤ | 두 점 사이의 거리 공식을 그대로 적용하는 문항. 3-4-5 직각삼각형 구조의 좌표가 주어져 암산 가능. |
| 2 | 2.8 | 하 | 평면좌표 / 정답 ④ | 선분을 m:n으로 내분하는 점의 좌표 공식. 공식의 분자 순서(m·끝점+n·시작점)를 혼동하지 않는 것이 유일한 관건. |
| 3 | 3 | 하 | 집합 / 정답 ① | 전체집합과 두 부분집합에 대해 여집합·합집합·차집합·원소/부분집합 기호(∈, ⊂)의 옳은 것 고르기. 원소와 집합의 구분({a}∈A 형태의 함정)을 묻는 전형적인 기호 문항. |
| 4 | 3.2 | 중 | 평면좌표 / 정답 ④ | 삼각형 세 변을 같은 비로 내분한 점들로 만든 삼각형의 무게중심. 세 내분점을 모두 구해도 되지만, '내분 삼각형의 무게중심 = 원래 삼각형의 무게중심'이라는 성질을 알면 즉시 해결. 시간 관리용 문항. |
| 5 | 3.2 | 하 | 직선의 방정식 / 정답 ② | 평행한 두 직선 사이의 거리. 한 직선 위의 점을 잡아 점과 직선 사이 거리 공식으로 계산하거나 상수항 차를 이용. |
| 6 | 3.2 | 하 | 집합 / 정답 ③ | n(A∪X)=n(A)+n(X)가 성립할 조건, 즉 두 집합이 서로소일 조건. 보기의 집합들을 조건제시법에서 원소나열법으로 정확히 바꾸는 것이 핵심(소수, 약수, 제곱근 등 용어 정의 확인). |
| 7 | 3.6 | 중 | 도형의 이동 / 정답 ② | 직선 y=x에 대한 대칭이동의 원리를 '중점이 직선 위에 있다 + 두 점을 잇는 선분이 직선에 수직'이라는 두 조건으로 유도하는 과정 서술형 빈칸 문항. 공식(x, y 교환)만 외운 학생은 빈칸을 채울 수 없도록 설계됨. |
| 8 | 3.8 | 중 | 집합 / 정답 ④ | A∪B=B ⇔ A⊂B 조건을 이용해 미지수를 포함한 두 집합의 포함관계를 만족하는 정수를 모두 찾는 문항. 경우를 나눈 뒤 반드시 역으로 검증(원소가 실제로 포함되는지, 원소가 서로 다른지)해야 함. 검증 누락 시 오답. |
보고서 4페이지 — 선택형 9~15번 및 단답형 문항별 출제 내용 분석
| 번호 | 배점 | 난이도 | 단원 / 정답 | 출제 내용 및 풀이 포인트 |
|---|---|---|---|---|
| 9 | 4 | 상 | 원의 방정식 / 정답 ⑤ | 원 위의 한 점과 직선 위의 두 점으로 이루어진 정삼각형의 넓이 최대 조건. '넓이 최대 ⇔ 높이 최대 ⇔ 원 위의 점과 직선 사이의 거리 최대(=중심까지 거리+반지름)'로 해석한 뒤, 정삼각형의 높이-변 관계로 한 변을 구함. 원과 직선 사이 거리의 최대·최소 유형의 응용. |
| 10 | 4 | 중 | 집합 / 정답 ② | 두 조건(특정 집합과 서로소, 다른 집합과 교집합이 공집합이 아님)을 만족하는 부분집합의 개수. 여사건(전체 − 조건에 위배되는 것)으로 세는 것이 정석. 부분집합 개수 공식 2ⁿ의 조건부 활용. |
| 11 | 4.2 | 중 | 도형의 이동 / 정답 ③ | 원점 대칭과 y축 대칭을 번갈아 적용해 정의된 점열의 2025번째 점. 몇 항만 직접 구하면 주기가 2임을 발견할 수 있는 규칙성 문항. 대칭이동 규칙의 정확한 적용과 홀짝 판단이 핵심. |
| 12 | 4.2 | 중 | 도형의 이동 / 정답 ⑤ | ㄱ·ㄴ·ㄷ 합답형. 직선의 평행이동 후 원점 통과 여부, 직선의 y=x 대칭이동 결과와 원래 직선의 평행 여부, 원의 평행이동 후 대칭이동한 결과가 원래 원과 일치하는지 판정. 세 보기 모두 참이며, 평행이동을 식에 대입할 때 부호를 반대로 넣어야 한다는 점을 잊으면 ㄱ에서 틀리도록 설계됨. |
| 13 | 4.4 | 상 | 집합 / 정답 ① | A∪X=U, B−X=B를 각각 '반드시 X에 포함되어야 하는 원소', '절대 포함되면 안 되는 원소'로 번역한 뒤, 자유롭게 선택 가능한 원소의 개수로 부분집합의 개수를 구하는 문항. 여집합 X의 개수를 묻지만 X의 개수와 같음. 약수·배수 집합을 정확히 나열하는 것이 첫 단추. |
| 14 | 4.6 | 상 | 원의 방정식 / 정답 ③ | 중심이 이동하는 두 원과 고정된 직선의 교점 개수를 정수 매개변수의 함수로 보고, 접할 조건(교점 1개)·만날 조건(교점 2개)을 만족하는 정수의 개수를 각각 세는 문항. '원의 중심과 직선 사이의 거리 vs 반지름' 비교를 절댓값 부등식으로 처리하는 능력. |
| 15 | 5 | 상 | 원의 방정식 / 정답 ② | 선택형 최고난도. y절편이 정수 간격으로 나열된 평행선 묶음과 원의 교점이 '평행이동 상수와 무관하게 항상 8개'가 되는 반지름. 평행선 사이의 실제 거리(1/√5)를 구하고, 지름이 그 거리의 정확히 4배일 때(접하는 경우까지 포함해) 교점이 항상 8개임을 보이는 조건 해석형 문항. 집합 기호로 도형을 정의해 두 단원을 융합함. |
| 단답1 | 5.2 | 상 | 도형의 이동 / 정답 2√13−2 | 두 원 위의 점, x축 위의 점, 직선 y=−x 위의 점을 차례로 잇는 꺾은 경로의 최솟값. 한 원의 중심을 x축과 y=−x에 대해 차례로 대칭이동시켜 다른 원의 중심과의 거리를 구하고, 두 반지름을 빼는 '대칭이동을 이용한 최단거리' 대표 유형. 대칭 순서와 y=−x 대칭 공식((x,y)→(−y,−x))의 정확성이 관건. |
| 단답2 | 5.4 | 상 | 집합 / 정답 1 | 남녀 인원, 두 동아리의 남녀 비율 동일, 중복 가입자 수, 미가입 남학생 수, 부등식 조건(가입 여학생 > 가입 남학생)을 종합해 미가입 여학생 수를 구하는 문항. 단순 벤다이어그램이 아니라 남녀를 분리해 미지수를 잡고 부등식으로 경우를 확정하는 논리 문항. 이번 시험에서 가장 '문해력'이 필요했던 문항. |
| 단답3 | 5.4 | 상 | 원의 방정식 / 정답 2 | 외부의 점에서 원에 그은 접선의 접점과, 접점을 지나 접선에 수직인 직선(=지름)의 다른 끝점으로 만든 삼각형이 이등변삼각형이 되도록 반지름을 결정한 뒤 접점의 좌표 합을 구하는 문항. 접선⊥반지름이므로 직각이등변삼각형이 되어 '접선의 길이=지름'이라는 관계로 반지름을 확정하고, 접점이 만족하는 두 식(원의 방정식과 접선의 방정식)을 연립. |
4-2. 서술형(5문항, 28점)
보고서 5페이지 — 서술형 문항별 출제 내용 및 채점 포인트
| 번호 | 배점 | 난이도 | 단원 / 정답 | 출제 내용 및 채점 포인트 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 하 | 집합 / 최대 15, 최소 5 | 두 집합의 교집합 원소 개수의 최댓값·최솟값. 최대는 작은 집합이 큰 집합에 포함될 때, 최소는 합집합이 전체가 될 때라는 근거를 '왜 그런지' 문장으로 적어야 만점. '과정을 서술하시오'라는 지시가 있으므로 근거 서술 자체가 채점 대상일 가능성이 높습니다. |
| 2 | 5 | 중 | 집합 / 정답 10 | 세 자연수의 약수 집합에 대해 교집합·합집합이 결합된 원소 개수. 분배법칙으로 식을 풀어쓰고, '두 수의 약수 집합의 교집합=최대공약수의 약수 집합'임을 이용한 뒤 포함·배제 원리로 개수 계산. 최대공약수 계산 실수 주의. |
| 3 | 6 | 중 | 직선의 방정식 / 2x+3y−4=0, 3x−2y+2=0 | 두 직선이 이루는 각의 이등분선. 이등분선 위의 점은 두 직선까지의 거리가 같다는 정의로 출발해 절댓값 방정식을 풀어 두 개의 직선을 모두 구해야 함. 두 개를 모두 구해야 완결된 답안입니다. |
| 4 | 6 | 상 | 도형의 이동 / 정답 2 | f(y−1, 2−x)=0 형태의 도형이 f(x−3, y+4)=0 형태로 바뀌는 변환을 해석하는 문항. 두 식의 대응으로부터 '점 (x, y)가 어떤 점으로 옮겨지는지'를 직접 유도(y=x 대칭 + x축 대칭 + 평행이동의 합성)한 뒤 주어진 직선을 변환하고 점과 직선 사이 거리를 계산. 도형의 이동 단원에서 가장 추상적인 유형이며, 이번 시험 최고난도 서술형. |
| 5 | 6 | 상 | 원의 방정식 / 정답 5/2 | 외부의 점에서 원에 그은 두 접선의 접점 좌표를 '직접 구하여' 삼각형 넓이를 계산하도록 풀이 방법을 지정한 문항. 접점 좌표를 구하는 정석(접점을 (a, b)로 두고 원의 방정식과 접선 조건 연립, 또는 극선 3x−y=0 활용)을 서술해야 하며, 넓이 공식(신발끈 공식 또는 접선 길이×사잇각)으로 마무리. 접선의 길이만으로 넓이를 구하면 지정된 풀이 방법을 따르지 않은 것이 되어 채점에 불리할 수 있음. |
05. 이 시험의 특징 다섯 가지 — 베테랑 강사의 시각
보고서 6페이지 — 출제 경향 총평 및 등급대별 예상 실패 지점
- ① '원리를 아는가'를 직접 묻는다. 선택형 7번(대칭이동의 유도 과정 빈칸)과 서술형 5번(접점 좌표를 이용하라는 풀이 방법 지정)처럼, 공식 암기로는 통과할 수 없는 문항이 배치되었습니다. 교과서의 '증명·유도 과정'을 읽고 넘긴 학생과 직접 써 본 학생의 차이가 그대로 점수로 나타납니다.
- ② 조건을 '번역'하는 힘을 요구한다. A∪X=U, B−X=B, n(A∪X)=n(A)+n(X), '항상 8개' 같은 집합·조건 표현을 '반드시 포함/절대 불포함/서로소/모든 경우에 성립'으로 바꾸는 과정이 선택형 6·8·10·13·15번에 반복 등장했습니다. 상위권과 중위권을 가르는 결정적 능력입니다.
- ③ 단원 간 융합이 자연스럽다. 선택형 15번(집합 기호로 정의된 직선 묶음+원), 단답형 1번(원+대칭이동+최단거리), 서술형 4번(도형의 이동+직선의 거리)처럼 두세 단원이 한 문항 안에 들어옵니다. 단원별로 따로 공부하면 후반부 문항이 낯설게 느껴집니다.
- ④ 검증(역대입)을 생략하면 틀리도록 설계되었다. 선택형 8번(정수 후보 중 실제로 조건을 만족하는 것만 골라내기), 단답형 2번(부등식으로 경우 확정), 선택형 14번(접하는 경우와 만나는 경우 구분)은 후보를 구한 뒤 반드시 되짚어야 합니다.
- ⑤ 배점이 정직하다. 0.2점 단위로 난이도에 따라 배점이 세밀하게 차등화되었고, 서술형은 '과정을 서술하시오'로 채점 기준이 단계별 부분점수 형태임을 암시합니다. 학교의 채점 기준표를 확인할 수는 없으나, 과정 서술이 채점에 반영될 것으로 보이므로 막히더라도 근거와 식을 남기는 것이 유리합니다.
06. 등급대별 예상 실패 지점
| 구간 | 주로 무너지는 지점 |
|---|---|
| 1등급 도전권 | 선택형 15번의 '항상 성립' 조건 해석, 서술형 4번의 변환 유도, 단답형 2번의 부등식 처리. 이 세 문항(합계 16.4점)이 상위권 변별에 가장 큰 영향을 주었을 것으로 예상됩니다. |
| 2~3등급권 | 선택형 13·14번에서 조건을 하나 빠뜨리거나 절댓값 부등식 처리 실수, 단답형 1번에서 대칭 순서 혼동, 서술형 3번에서 이등분선 하나만 구함. |
| 4등급 이하 | 선택형 6·8·10번에서 집합의 원소를 잘못 나열(소수·약수·제곱근 정의의 혼동), 선택형 12번 평행이동 부호 실수, 서술형에서 답만 쓰고 근거를 쓰지 않음. |
※ 등급대별 예상 실패 지점은 본원 강사진이 문항 난이도와 채점 구조를 근거로 추정한 참고 자료이며, 실제 성적 분포와 다를 수 있습니다.
07. 학부모님께서 확인해 주실 세 가지
2026학년도 시험은 출제 교사와 범위, 난이도 흐름이 달라질 수 있으므로 이 분석은 특정 출제 경향을 예상하지 않습니다. 다만 이번 시험에서 확인된 문항 구성과 요구 역량을 바탕으로, 가정에서 확인해 주시면 좋을 점을 정리했습니다.
- 교과서 유도 과정을 '손으로' 써 봤는지. 문제집만 여러 권 푸는 학생보다, 교과서의 증명과 예제 풀이를 빈 종이에 재현할 수 있는 학생이 이 학교 시험에서 유리합니다. 선택형 7번, 서술형 5번이 그 증거입니다.
- 서술형 답안에 '이유'가 적혀 있는지. '과정을 서술하시오'라는 지시가 있는 만큼 근거 서술이 채점에 반영될 가능성이 높습니다. 아이의 풀이 노트에 '~이므로', '~이기 때문에'가 보이는지 확인해 주세요.
- 틀린 문제의 원인을 스스로 말할 수 있는지. '실수했어요'는 원인이 아닙니다. 조건을 빠뜨렸는지, 검증을 안 했는지, 개념을 몰랐는지 구분해 말할 수 있어야 같은 실수를 반복하지 않습니다.
저희 멕스퍼 수학 과학 단과학원 수학과에서는 울산여고 기출 경향을 반영한 문항별 진단과 개인별 취약 유형 보완 학습을 함께 운영하고 있습니다. 단순히 문제를 많이 푸는 것이 아니라, 우리 아이가 정확히 어디서 무너지는지를 짚어드리는 방식입니다.
08. 멕스퍼 수학 과학 단과학원의 울산여고 맞춤 지도
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